Criptografia de curva elíptica (ECC)

Uma curva elíptica tem a forma de Weierstrass, y² = x³ + ax + b sobre um corpo finito. A operação central é a multiplicação escalar k·G, somar um ponto base G consigo mesmo k vezes. A chave privada é o escalar k, e a chave pública é o ponto resultante P = k·G. Derivar a pública a partir da privada é simples, mas o caminho inverso, o problema do logaritmo discreto em curva elíptica (ECDLP), é inviável. Essa assimetria dá à ECC chaves muito mais curtas que o RSA para uma segurança equivalente.

Duas curvas concretas estruturam o mundo blockchain. A secp256k1, definida por y² = x³ + 7, é a que Bitcoin e Ethereum usam para assinar transações por meio do ECDSA: a chave privada de uma wallet EVM é precisamente o escalar k dessa curva. A BN254 (também chamada alt-bn128) é uma curva pairing-friendly do tipo Barreto-Naehrig, pensada para verificar provas zk-SNARK on-chain. No Ethereum, suas operações de soma, multiplicação e emparelhamento estão disponíveis como precompiles, introduzidas nas EIP-196 e EIP-197 durante o hard fork Byzantium, em outubro de 2017.

A ECC importa porque é o alicerce da propriedade on-chain: chaves, assinaturas e endereços nascem dela, e o ECDSA é o esquema de assinatura que a aplica sobre a secp256k1. Ao mesmo tempo, curvas pairing-friendly como a BN254 tornam possível verificar provas de conhecimento zero dentro de um contrato, conectando a criptografia clássica de chave pública à família de provas que sustenta os zk-rollups.