Elliptische-Kurven-Kryptographie (ECC)

Eine elliptische Kurve hat die Weierstraß-Form y² = x³ + ax + b über einem endlichen Körper. Die zentrale Operation ist die Skalarmultiplikation k·G, also die k-fache Addition eines Basispunkts G mit sich selbst. Der private Schlüssel ist der Skalar k, der öffentliche Schlüssel der resultierende Punkt P = k·G. Den öffentlichen aus dem privaten Schlüssel abzuleiten ist einfach, der umgekehrte Weg, das Problem des diskreten Logarithmus auf elliptischen Kurven (ECDLP), ist praktisch nicht lösbar. Diese Asymmetrie verschafft ECC bei gleichwertiger Sicherheit deutlich kürzere Schlüssel als RSA.

Zwei konkrete Kurven prägen die Blockchain-Welt. secp256k1, definiert durch y² = x³ + 7, verwenden Bitcoin und Ethereum, um Transaktionen mit ECDSA zu signieren: Der private Schlüssel einer Wallet für EVM-Netzwerke ist genau der Skalar k dieser Kurve. BN254 (auch alt-bn128 genannt) ist eine pairing-freundliche Kurve vom Typ Barreto-Naehrig, die für die Verifikation von zk-SNARK-Beweisen on-chain gedacht ist. In Ethereum stehen ihre Operationen Addition, Multiplikation und Pairing als Precompiles zur Verfügung, eingeführt mit EIP-196 und EIP-197 im Byzantium-Hardfork vom Oktober 2017.

ECC ist wichtig, weil sie das Fundament des Eigentums on-chain bildet: Schlüssel, Signaturen und Adressen gehen aus ihr hervor, und ECDSA ist das Signaturverfahren, das sie auf secp256k1 anwendet. Zugleich ermöglichen pairing-freundliche Kurven wie BN254 die Verifikation von Zero-Knowledge-Beweisen innerhalb eines Smart Contracts und verbinden so die klassische Public-Key-Kryptographie mit der Familie von Beweisen, auf der zk-Rollups aufbauen.